Y=X^4+2X^3+2X^2+2X+1=X^4+2X^3+X^2+X^2+2X+1=X^2(X+1)^2+(X+1)^2=(X+1)^2(X^2+1).
于是只要證明(X^2+1)不是完全平方即可.
反證法：
設(shè)X^2+1為完全平方數(shù),即(X^2+1)=A^2,且A>X,于是必有有(A+X)(A-X)=1.
然而,由于A和X均為自然數(shù),于是有A+X>1,A-X>=1,即必有(A+X)(A-X)>1.
矛盾.
因此X^2+1不是完全平方數(shù),于是Y不是完全平方數(shù).