已知圓O：x2+y2=1，直線l：y＝33(x+4)．（1）設(shè)圓O與x軸的兩交點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，若從F1發(fā)出的光線經(jīng)l上的點(diǎn)M反射后過(guò)點(diǎn)F2，求以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的橢圓方程；（2）點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)

已知圓O：x²+y²=1，直線l：y＝

(x+4)．

（1）設(shè)圓O與x軸的兩交點(diǎn)是F₁，F(xiàn)₂，若從F₁發(fā)出的光線經(jīng)l上的點(diǎn)M反射后過(guò)點(diǎn)F₂，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的橢圓方程；
（2）點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)l反射后與圓O相切．若光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過(guò)的路程最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

數(shù)學(xué)人氣：828 ℃時(shí)間：2020-03-28 14:38:25

優(yōu)質(zhì)解答

解（1）如圖，由光學(xué)幾何知識(shí)可知，點(diǎn)F₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′
在過(guò)點(diǎn)A（-4，0）且傾斜角為60°的直線l′上．
在△AF₂F₁′中，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝MF1+MF2＝

F2＝

，
又橢圓的半焦距c=1，∴b2＝a2?c2＝

，
∴所求橢圓的方程為

＝1；
（2）光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過(guò)的路程最短，即為l′上的點(diǎn)P′到圓O的切線長(zhǎng)最短，
由幾何知識(shí)可知，P′應(yīng)為過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直的直線與l′的交點(diǎn)，
這一點(diǎn)又與點(diǎn)P關(guān)于l對(duì)稱，∴AP=AP′=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）．

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