把λ=1代入方程組(A-λE)X=0中,得到該方程組的系數(shù)矩陣為
1 2 -2 1 2 -2
2 4 -4 → 0 0 0
-2 -4 4 0 0 0
所以,這時(shí),方程組與方程x1+2x2-2x3=0(x2,x3為自由未知量）同解,因此,令x2=1,x3=0,得到方程組的一個(gè)解,(-2,1,0)^T.
再令x2=0,x3=1,得到方程組的另一個(gè)與之線性無(wú)關(guān)的解,(2,0,1)^T.
所以,這時(shí)方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(-2,1,0)^T,(2,0,1)^T.
當(dāng)λ=10時(shí),該方程組的系數(shù)矩陣為
-8 2 -2 2 -5 -4 2 -5 -4 2 -5 -4
2 -5 -4 → -8 2 -2 → 0 -18 -18 → 0 1 1
-2 -4 -5 -2 -4 -5 0 -9 -9 0 0 0
所以,這時(shí)方程組與2x1-5x2-4x3=0,x2+x3=0(x3為自由未知量）同解,令x3=﹣2,得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1,2,-2)^T.
令a1=(-2,1,0)^T,a2=(2,0,1)^T,a3=(1,2,-2)^T,則根據(jù)施密特正交化方法,c1=a1/||a1||=1/√5×(-2,1,0)^T,b2=a2-(a2,c1)c1=(2/5,4/5,1)^T,c2=b2/||b2||=(√5)/3×(2/5,4/5,1)^T,b3=a3-(a3,c1)c1-(a3,c2)c2=a3,c3=b3/||b3||=1/3×(1,2,-2)^T.
所以,矩陣P=﹣2/√5 2√5/15 1/3 它所對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣為1 0 0
1/√5 4√5/15 2/3 0 1 0
0 √5/3 -2/3 0 0 10