這東西叫極分解.
需要先證一個引理：任何一個實方陣A,都存在正交方陣P,Q使得PAQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正實數(shù)
有這個引理.題中所給的是可逆矩陣,設(shè)這個可逆矩陣叫做B,那么由于P,Q都是正交矩陣,是可逆的,所以PBQ逆的.
由引理,應(yīng)該存在正交方陣P,Q使得PBQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正實數(shù).但是PBQ是可逆的,所以PBQ=diag(a1,a2,...an)
得到B=P'diag(a1,...an)Q'（其中的'表示轉(zhuǎn)置）
P'是正交矩陣,而diag(a1,...an)Q'是正定矩陣.證畢不好意思，我寫錯了。。。。是B=P'diag(a1,...an)Q'=P'diag(a1,...an)PP'Q'。這個P'diag(a1,...an)P是正定的，而后面的P'Q'是兩個正交陣相乘，還是正交陣