要意識到正交矩陣的特征根是1或-1
然后矩陣正定,特征值全為1.
Ax=ax,a為特征值,x為特征向量,則兩邊做轉(zhuǎn)置x'A'=ax'.于是有x'A'Ax=ax'ax
由于A正交,左邊為x'x,而右邊為aax'x,所以a方=1,特征根是1或-1.
由于A對稱正定,故存在正交矩陣B,B'AB為上三角形(其實(shí)由A正交可進(jìn)一步知,是對角形,只需考慮AA'=A'A即得),對角線上為特征值,可見正定的充要條件是特征值皆為正數(shù),本題都為1.
所以A正交相似于單位陣,即上邊的B'AB=E.所以A=BB'=E(注意B正交).