函數(shù)f(x)在點x0某鄰域內(nèi)具有直到n+1階導數(shù),我們希望找到一個n次多項式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函數(shù)值及相同的直到n階的導數(shù)值,容易確定這個多項式就是
Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.
確定Pn(x)一點也不困難,困難的是證明泰勒公式的余項
Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x與x0之間）,這需要用n+1次柯西中值定理,教科書上都有詳細的證明,可參閱同濟高等數(shù)學第五版上冊p138、p139頁.