這題有意思.解析如下.
先對(duì)函數(shù) f 變形：
f(x) = min {x^2 + 2tx + t^2 - 1, x^2 - 4x + 3}
= min { (x+t)^2 - 1, (x-2)^2 - 1 }
= min { (x+t)^2, (x-2)^2 } - 1
= [min { |x+t|, |x-2| }]^2 - 1,
這樣就好分析了.現(xiàn)在我說如果要讓 f 是偶函數(shù) （也就是說讓 min { |x+t|, |x-2| }是偶函數(shù)）的話,必須有 t = 2.否則的話,比如 t > 2,那么看：
min { |x+t|, |x-2| } 和 min { | x-t |, |x+2| } （右邊這個(gè)是代入 -x 后得到的）
我就一定可以找到 這樣的x,使得 前一個(gè)取小的結(jié)果是 |x+t|,后一個(gè)取小的結(jié)果是 |x-t|,這樣就等于是說,可以找到 x,使得 f(x) 不等于 f(-x),于是就不是偶函數(shù)了.為了證明這一點(diǎn),令：
|x+t| > |x-2|,兩邊平方后解出 x > (4-t^2) / (2t + 4) = (2-t)/2,再令
|x-t| > |x+2|,兩邊平方后解出 x < (t^2 - 4) / (2t + 4) = (2+t)/2,
由于此時(shí) t>2,故 (2-t)/2 < x < (2+t)/2,確實(shí)是存在這樣的x,使得函數(shù)不是偶函數(shù)了.
同理你也可以證明,如果 t < 2,你就可以找到x 使得相反的不等式成立,函數(shù)一樣不是偶函數(shù).
這樣,t = 2, f(x) = [min { |x+2|, |x-2| }]^2 - 1,零點(diǎn)就是找
min { |x+2|, |x-2| } = 1的點(diǎn),由于左邊這個(gè)取小的結(jié)果肯定是其中一個(gè),那就不妨：
|x+2| = 1試一試,解出 x = -3 和 -1 ,恰好都比第二個(gè)小,于是這兩個(gè)就是根；
同理,你可以找到 1 和 3 這兩個(gè)根.于是答案的根就是四個(gè)了.
PS:
偶函數(shù)如果有根的話,根的數(shù)目只有可能是 1, 2, 4, 6, 8 . ；
對(duì) t=2這個(gè)判斷,剛才是提供的證明,但你其實(shí)很快通過畫函數(shù)圖來(lái)得到,|x-2|與|x+t|的圖象各自關(guān)于 x = 2和 x = -t對(duì)稱,而取小函數(shù)就是在每一段你找下方的曲線,最終組成一個(gè)折線形而已,由此可見,只要 t 不等于2 ,兩個(gè)對(duì)稱軸就不是關(guān)于y軸對(duì)稱,圖形就不可能是關(guān)于y軸對(duì)稱的.