歐幾里德的世界
據(jù)說除了圣經(jīng)之外,印得最多,流傳最廣的要算古希臘數(shù)學家歐幾里德寫的《幾何原本》了.
歐幾里德在《幾何原本》中選擇了一些不加證明而承認下來的命題作為基本命題,及公理或公設(shè).
1.從一點到另一點可作一條直線；
2.直線可以無限延長；
3.已知一點和一距離,可以該點為中心,以該距離為半徑作一圓；
4.所有的直角彼此相等；
5.若一直線與其他兩直線相交,以致該直線一側(cè)的兩內(nèi)角和小于兩直角,則那兩直線延伸足夠長后必相交與該測.(不能證明)
他的五條公設(shè)一直被認為就是真理,從這五條公設(shè)出發(fā),推導出了整個歐氏幾何的體系.歐氏幾何也被奉為經(jīng)典流傳了兩千多年.
但是,在他極為細致深入的推理過程中,得出了一個又一個在直覺上匪夷所思,但在邏輯上毫無矛盾的命題.最后,羅巴切夫斯基得出兩個重要的結(jié)論：
第一：第五公設(shè)不能被證明.
第二：在新的公理體系中展開的一連串推理,得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理,并形成了新的理論.這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學.
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何,簡稱羅氏幾何.這是第一個被提出的非歐幾何學.
從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學中,可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學.