首先,由A是正定矩陣,則A與單位矩陣合同,故其行列式>0.
其次,設(shè) f(x1,...,xn) = X'AX= 和號(i從1到n)和號(j從1到n) aijxixj.
構(gòu)造二次型 f(x1,...,xk) = 和號(i從1到k)和號(j從1到k) aijxixj
則對任意不全為0的數(shù) c1,...,ck
f(c1,...,ck) = 和號(i從1到k)和號(j從1到k) aijcicj = f(c1,...,ck,0,...,0) >0.
所以 f(x1,...,xk) 是正定的,其矩陣也是正定的,由前結(jié)論,其矩陣的行列式>0.
而 f(x1,...,xk) 的矩陣就是A的第k個順序主子式.
故 A的順序主子式全大于零.
最后,對A的任一主子式A1,可經(jīng)過對換行與列,調(diào)到A的左上角,得矩陣B
B與A合同,故B也正定.A的主子式就是B的順序主子式,故也大于0.
事實上,A是正定矩陣的充分必要條件是A的主子式全大于零.
這是書上定理吧,北大高代里就有,