∵E、F是AB、AC的中點(diǎn),∴EF到BC的距離＝點(diǎn)A到BC的距離/2,
∴△ABC的面積＝2△PBC的面積,而△ABC的面積＝2,∴△PBC的面積＝1,
又△PBC的面積＝（1/2）PB×PCsin∠BPC,∴PB×PC＝2/sin∠BPC.
由向量夾角公式,有：cos∠BPC＝向量CP·向量BP/（｜向量CP｜｜向量BP｜）,
∴向量CP·向量BP＝PB×PCcos∠BPC＝2cos∠BPC/sin∠BPC.
由余弦定理,有：BC^2＝BP^2＋CP^2－2BP×CPcos∠BPC.
顯然,BP、CP都是正數(shù),∴BP^2＋CP^2≧2BP×CP,∴BC^2≧2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC.
∴向量CP·向量BP＋BC^2
≧2cos∠BPC/sin∠BPC＋2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC
＝2cos∠BPC/sin∠BPC＋4/sin∠BPC－4cos∠BPC/sin∠BPC
＝（4－2cos∠BPC）/sin∠BPC.
令∠BPC＝2x,則：
向量CP·向量BP＋BC^2
≧［4（cosx）^2＋4（sinx）^2－2（cosx）^2＋2（sinx）^2］/（2sinxcosx）
＝［（cosx）^2＋3（sinx）^2］/（sinxcosx）
＝cosx/sinx＋3sinx/cosx.
在△PBC中,顯然有：0°＜∠BPC＜180°,∴0°＜2x＜180°,∴0°＜x＜90°,
∴cosx、sinx都是正數(shù),∴cosx/sinx＋3sinx/cosx≧2√3,∴向量CP·向量BP＋BC^2≧2√3.
∴向量CP·向量BP＋BC^2的最小值為2√3.