在□ABCD中,AC、BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線EF、GH,分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn),連接EG、GF、FH、HE．
（1）如圖①,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說(shuō)明理由；
（2）如圖②,當(dāng)EF⊥GH時(shí),四邊形EGFH的形狀是?；
（3）如圖③,在（2）的條件下,若AC=BD,四邊形EGFH的形狀是?；
（4）如圖④,在（3）的條件下,若AC⊥BD,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說(shuō)明理由．
分析：（1）由于平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心,即可得出OE=OF、OG=OH；根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質(zhì)；
（2）當(dāng)EF⊥GH時(shí),平行四邊形EGFH的對(duì)角線互相垂直平分,故四邊形EGFH是菱形；
（3）當(dāng)AC=BD時(shí),對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響,故結(jié)論同（2）；
（4）當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí),四邊形ABCD是正方形,則對(duì)角線相等且互相垂直平分；可通過(guò)證△BOG≌△COF,得OG=OF,從而證得菱形的對(duì)角線相等,根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．
（1）四邊形EGFH是平行四邊形；
證明：∵▱ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,
∴點(diǎn)O是▱ABCD的對(duì)稱中心；
∴EO=FO,GO=HO；
∴四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）菱形；
（3）菱形；
（4）四邊形EGFH是正方形；
證明：∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形；
∴▱ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC；
∵EF⊥GH,
∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF；
∴OG=OF,∴GH=EF；
由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形,又∵EF⊥GH,EF=GH；
∴四邊形EGFH是正方形．