（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令m＝2，n＝

1

2

，則f(1)＝f(2×

1

2

)＝f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)＝f(1)?f(2)＝?1（4分）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞0
∴f(

x2

x1

)＞0（6分）
f(x2)＝f(x1×

x2

x1

)＝f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（10分）
（3）∵y=4sinx的圖象如右圖所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，
由圖象在[0，2π]內(nèi)有1個交點，
在（2π，4π]內(nèi)有2個交點，
在（4π，5π]內(nèi)有2個交點，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的個數(shù)為5個（16分）