取SD中點(diǎn)G,連接FG和AG,則FG//DC,且FG=1/2CD.
∵AB//CD且AE=1/2AB
∴FG//AE且FG=AE.
∴四邊形AEFG為平行四邊形.
∴點(diǎn)G在平面AEF上.過(guò)D作DH使DH⊥AG于H.
∵SD⊥面ABCD.
∴SD⊥AB
又AB⊥AD
∴AB⊥面ADS
∴ AB⊥DH,AB⊥AG.
則DH⊥面AEFG.且平行四邊形AEFG為矩形.
過(guò)H作HO⊥EF,連接DO,
則∠HOD即為二面角A-EF-D所對(duì)應(yīng)的平面角.
tan∠HOD=DH/OH.
∵HO⊥EF
∴HO=AE.
設(shè)CD=a,則SD=2a,AB=AD=CD=a,
∴ DG=1/2SD=a.HO=AE=1/2AB=1/2a.
在RT∆ADG中,可得HD=√2/2a
∴tan∠HOD=DH/OH=√2.
即二面角A-EF-D的正切值為√2.