△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)做∠MDN=60°若∠MDN的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn),連接M、N,求證：MN=BM+CN

數(shù)學(xué)人氣：263 ℃時(shí)間：2019-08-20 16:05:08

優(yōu)質(zhì)解答

延長(zhǎng)MB至G,使BG=CN,連接GD
1）
∵ △BDC是頂角∠BDC為120度的等腰△
∴ BD=DC,∠CBD=∠BCD=30度
∵ △ABC是等邊△
∴ ∠ABC=∠ACB=60度
∴ ∠CBD+∠ABC=∠BCD+∠ACB=90度
∴ ∠ABD=∠ACD=90度
∵ ∠DBG=180-90=90度
∴ ∠DBE=∠ACD=90
∵ BD=DC,BE=CN
∴ △BGD≌△CND
∴ DE=DN,∠GDB=∠NDC
∴ ∠GDN=∠BDC
2）又
∵ ∠BDC=120度
∴ ∠GDN=∠BDC=120度
∵ ∠MDN=60度
∴ ∠GDM=120-60=60度
∴ ∠GDM=∠MDN
∵ DE=DN,DM=DM
∴ △GDM≌△NDM
∴ MN=MG
∵ MG=BM+BG,BG=CN
∴ MN=BM+CN

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