求證：定義域?yàn)镽的任意函數(shù)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和

數(shù)學(xué)人氣：326 ℃時(shí)間：2019-08-21 14:06:10

優(yōu)質(zhì)解答

證明：假設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x)可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和∴
∴f(x)=g(x)+h(x).①
f(-x)=g(-x)+h(-x)
又g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x).②
由①②知,h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
檢驗(yàn)：h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)
g(x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(-x)
∴定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和
,且h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2