這道題,有點(diǎn)難度,關(guān)鍵是一元二次方程的根的討論,建議對(duì)零點(diǎn)分布問(wèn)題,特別是一元二次方程的根的問(wèn)題分布加深理解.
（1）這里給了兩個(gè)條件,就用兩個(gè)條件來(lái)解.
因?yàn)閒(2)=0,代入得：a·4+2b=0 ①
第二個(gè)條件,f(x)≤x,則ax2+bx-x≤0恒成立
那么分類,當(dāng)a=0時(shí),y=bx-x,y值不恒小于等于零.
當(dāng)a≠0時(shí),a＞0時(shí),開口向上,那么小于等于零,也不恒成立.
所以,a＜0,⊿≤0,則一元二次方程ax2+bx-x=0,
⊿=（b-1）2-4a·0≤0
（b-1）2≤0 (平方是非負(fù)數(shù))
那么只有b-1=0,所以b=1 ②
將②代入①得：a=-1/2
所以,f(x)=-1/2x2+x
(2)f(x)=-1/2x2+x=-1/2(x-1)2+1/2
分類討論：
①當(dāng)q≤1時(shí),[p,q]在對(duì)稱軸的左邊,單增區(qū)間.
則有f(p)=2p,f(q)=2q
代入方程中,建立方程組,解得p=0 或 p=-2 ; q=0 或q=-2
又因?yàn)閜＜q≤1,所以p=-2,q=0
②當(dāng)P≥1時(shí),[p,q]在對(duì)稱軸的右邊,單減區(qū)間.p＜q,則2p＜2q
因?yàn)橹涤蚴荹2p,2q],那么f(2p)＜f(2q),由單調(diào)遞減的定義,這是矛盾的
所以不成立.
③當(dāng)1∈[p,q]時(shí),分成兩類：
a.(p+q)/2＜1,有f(p)=2q,f(1)=2q 解出來(lái) P=0或P=-2 ； q=1/4
因?yàn)閝＞1,所以,舍去.
b.(p+q)/2≥1 有f(q)=2p,f(1)=2q,由于q=1/4,與q＞1矛盾所以仍然舍去.
綜上所述：存在p和q,p=-2,q=0,.