求證對(duì)任意自然數(shù)n,3 ^4n+2 +5 ^2n+1能被14整除

數(shù)學(xué)人氣：832 ℃時(shí)間：2019-08-21 23:29:48

優(yōu)質(zhì)解答

3^(4n+2)+5^(2n+1)=14N NEz
以上可用數(shù)學(xué)歸納法,很容易:
n=1時(shí),左=3^6+5^3=729+125=854
N=854/14=61成立.
設(shè)n=k時(shí)成立.即:3^(4k+2)+5^(2k+1)=14N 3^(4k+2)=14N-5^(2k+1)
則n=k+1時(shí).3^(4(k+1)+2)+5(2(k+1)+1)=3^4*3^(4k+2)+5^(2)*5^(2k+1)
=81*3^(4k+2)+25*5(2k+1)
=81*(14N-5^(2k+1))+25*5^(2k+1)
=81*14N-56*5^(2k+1)
由于[81*14N-56*5^(2k+1)]/14=81-4*5^(2k+1)是整數(shù)
所以n=k+1時(shí)也成立.
所以原式成立.