設(shè)x為B的復(fù)特征值（復(fù)（含實(shí)）特征值一定有n個(gè),而且其共軛復(fù)數(shù)也是其特征值）其共軛復(fù)數(shù)設(shè)為y
p為x的復(fù)特征向量,q為p的共軛復(fù)向量
Bp=xp,Bq=yq
-yq^Tp=-(Bq)^Tp=(q^TB)p=q^TBp=q^T(Bp)=q^Txp=xq^Tp
故(x+y)q^Tp=0
易證q^Tp不為零,故x+y=0,故特征值的實(shí)部均為0.
那么B的特征多項(xiàng)式det(λE-B)=f(λ)的因式一定是λ或是λ^2+c(c>0)的形式出現(xiàn),故λ>0時(shí)f(λ)>0；故λ=0時(shí)f(λ)=0；故λ0（這個(gè)地方的符號(hào),考慮λ的重?cái)?shù)與n同奇數(shù)同偶）
detA表示A的行列式.
下面det(E+B)=(-1)^ndet(-E-B)=(-1)^nf(-1)>0
A可逆,detA不為零
考慮到A'^(-1)BA^(-1)也是反對(duì)稱的
故det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
det(A'A+B)=detA'det(E+A'^(-1)BA^(-1))detA=(detA)^2det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
考慮了很久,其實(shí)這道題就是一個(gè)正定的加一個(gè)非負(fù)定的一定是一個(gè)非負(fù)定的題目.我這樣說你估計(jì)要受不了.但用線代來證真累.