在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

數(shù)學人氣：598 ℃時間：2020-03-22 05:58:58

優(yōu)質解答

（I）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（

sinA

cosA

sinC

cosC

）=

sinAsinC

cosAcosC

∴sinB?

sinAcosC+sinCcosA

cosAcosC

sinAsinc

cosAcosC

∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，
所以a，b，c成等比數(shù)列．
（II）若a=1，c=2，則b²=ac=2，
∴cosB＝

a2+c2?b2

2ac

＝

，
∵0＜B＜π
∴sinB=

1?cos2B

＝

∴△ABC的面積S＝

acsinB＝

×1×2×

＝

．

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