如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．（1）證明：AF平分∠BAC；（2）證明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的長．

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．

（1）證明：AF平分∠BAC；
（2）證明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的長．

數(shù)學(xué)人氣：692 ℃時間：2020-01-31 20:37:20

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：連接OF
∵FH是⊙O的切線
∴OF⊥FH（1分）
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC（2分）
∴

＝

，
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC（3分）
（2）證明：由（1）及題設(shè)條件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2（4分）
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3（5分）
∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，
∴∠BDF=∠FBD，
∴BF=FD（6分）
（3）在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB（7分）
∴

═

，（8分）
∴BF²=FE?FA
∴FA＝

BF2

（9分），EF=4，BF=FD=EF+DE=4+3=7，
∴FA＝

＝

∴AD=AF-DF=AF-（DE+EF）=

?7=

（10分）

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如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF． （1）證明：AF平分∠BAC； （2）證明：BF=FD； （3）若EF=4，DE=3，求AD的長．

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