不用那么復雜
對任一m維列向量X
X^T(AA^T)X
= (A^TX)^T(A^TX)
>=0 (實向量的自內積的非負性)
所以 AA^T 半正定 #
若要說明 AA^T 非正定
則由于 r(A^T)=r(A)=n < m (A^T的列數)
所以 A^TX=0 有非零解 X0
此時 X0^T(AA^T)X0 = = (A^TX0)^T(A^TX0) =0
故 AA^T非正定.