我們知道,任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都能化成小數(shù),不是有限小數(shù),就是無(wú)限循環(huán)小數(shù).那么,反過(guò)來(lái),任何有限小數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)；任何一個(gè)無(wú)限的循環(huán)小數(shù),也一定會(huì)轉(zhuǎn)化成一個(gè)分?jǐn)?shù).問(wèn)題是,把一個(gè)循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)分?jǐn)?shù)卻是一件十分不容易的事情.
怎樣把一個(gè)循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)呢?我們現(xiàn)在分兩種情況來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.
首先,考慮把純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的情形.
由于循環(huán)小數(shù)是無(wú)限的,有人就想出了一個(gè)十分有效的辦法.
10x=3.333……
將兩式兩邊同時(shí)作減法運(yùn)算：
10x=3.333……
因此,
采用同樣的方法,我們將下面的一些純循環(huán)小數(shù)化成了分?jǐn)?shù)：
比較等號(hào)左右兩邊的數(shù),我們似乎可以找到一種能直接將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的辦法.細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了嗎?請(qǐng)歸納出來(lái).
例1 把0.4747……和0.33……化成分?jǐn)?shù).解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么 0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可見(jiàn),純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù),它的小數(shù)部分可以寫(xiě)成這樣的分?jǐn)?shù)：純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾,分母就是由幾個(gè)9組成的數(shù)；分子是純循環(huán)小數(shù)中一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的數(shù).⑵把0.4777……和0.325656……化成分?jǐn)?shù).想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:0.4777……×90=47－4 所以,0.4777……=43/90 想2：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以,0.325656……=3224/9900