連續(xù)不一定可導(dǎo),但是可導(dǎo)必定連續(xù).比如y=|x|是連續(xù)函數(shù),但是在y=0處不可導(dǎo).
可導(dǎo)必然連續(xù),相關(guān)證明如下:
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),既它的導(dǎo)數(shù)存在.由具有極限的函數(shù)和無(wú)窮小的關(guān)系知道,△y/△x=f'(x)+b,b是當(dāng)△x趨向無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小,上式同乘△x得
△y=f'(x)△x+b△x,由此可見,當(dāng)△x趨向于0時(shí),△y趨向于0.這就是說(shuō),函數(shù)
y=f(x)在點(diǎn)x處是連續(xù)的.所以,如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).