A(半)正定,則A對(duì)稱.設(shè)A的特征值分解為A=QDQ^T,其中Q是正交陣,
D是對(duì)角陣,D=diga(d1,d2,...,dn).由于A(半)正定,故D(半)正定,
于是di>0（di>=0）,1=0),且ci^2=di.
于是C(半)正定,且C^2=D.
令B=QCQ^T,則B(半)正定,且B^2=(QCQ^T)^2=QC^2Q^T=QDQ^T=A.
證畢.哪個(gè)推論？公式4.1.2是？1、A對(duì)稱，則存在正交陣Q，使得Q^TAQ＝D是對(duì)角陣（已證），因此任意的k，有A^k＝QD^kQ^T，tr(A^k)＝tr(D^k)＝求和(i＝1到n)di^k，di是題目的特征值。反之，正交陣Q使得Q^TAQ＝D是對(duì)角陣，則A＝QDQ^T，A^T＝QDQ^T=A，A對(duì)稱。第二個(gè)等價(jià)號(hào)錯(cuò)誤。2、A反對(duì)稱，即A^T＝－A，則A^TA＝AA^T，A是正規(guī)陣，再注意到反對(duì)稱陣的特征值只能是0或者是純虛數(shù)，故由4.1.2式結(jié)論成立。反之，Q^TAQ＝右邊的直和＝D，注意到直和的每一項(xiàng)都是反對(duì)稱陣，則D^T＝－D，故A^T＝(QDQ^T)^T＝QD^TQ^T＝－QDQ^T＝－A，A是反對(duì)稱。3、A正交，即A^TA＝AA^T＝E，再注意到正交陣的特征值的模必是1，故A的特征值或是1，或是－1，或者是一對(duì)共軛的模為1的特征對(duì)，有4.1.2式結(jié)論成立。反之，顯然直和的每一項(xiàng)都是正交陣，故Q^TAQ＝直和＝D，D是正交陣，于是A^TA＝(QDQ^T)^T(QDQ^T)＝E＝AA^T。A是正交陣。