以前學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有點(diǎn)忘了..下面給出一個(gè)證明,不一定正確,但是如果前提成立的話,應(yīng)該是正確的.
這個(gè)假設(shè)前提是：f(x)是一般的一元n次多項(xiàng)式,一元是顯然的,n次這里指的是多項(xiàng)式的次數(shù)是有限的整數(shù).
證明如下：
先任意取點(diǎn)x1,x2（x1首先證明一個(gè)引理：在一個(gè)相同的區(qū)間A內(nèi),f(x)不可能存在兩種表現(xiàn)形式.證明是很簡單的,假設(shè)存在兩種表現(xiàn)形式：E1和E2,那么g(x)=E1-E2也是多項(xiàng)式,同時(shí)對(duì)任意x屬于A,有g(shù)(x)=0.然而已知的是多項(xiàng)式的根是有限個(gè)的,所以這是不可能的.
回到正題,反證法假設(shè)A1和A2中,f(x)的表現(xiàn)形式不同.那么取x1和x2的中點(diǎn)x3,存在x3的領(lǐng)域A3,A3中f是多項(xiàng)式.那么這個(gè)多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式一定與A1和A2中某一個(gè)的多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式不同.不妨設(shè)與A1中不同,那么再取x1和x3中點(diǎn)x4,循環(huán)下去,得到點(diǎn)列{xn},顯然xn是收斂的,這樣取下去一定趨近一個(gè)極限x0.那么對(duì)于x0,存在一個(gè)領(lǐng)域A0,在該領(lǐng)域內(nèi)f(x)是多項(xiàng)式.然而n足夠大時(shí),這個(gè)領(lǐng)域一定包含某個(gè)xn和xn+1,由于xn的領(lǐng)域An和xn+1的領(lǐng)域An+1中多項(xiàng)式不同,所以A0中多項(xiàng)式一定與這兩個(gè)的某一個(gè)不同,不妨設(shè)與An不同,而An與A0是相交的,由引理可知在交集中f(x)有兩種表現(xiàn)形式,這是矛盾的.
所以對(duì)于任意x,其領(lǐng)域內(nèi)f(x)的表現(xiàn)形式是一樣的.所以,f(x)是多項(xiàng)式.