p(x)為F上的不可約多項(xiàng)式,存在a0,使得p(a)=0,p(1/a)=0;證明任意b,如果p(b)=0,則p(1/b)=0.
p(x)為F上的不可約多項(xiàng)式,存在a0,使得p(a)=0,p(1/a)=0;證明任意b,如果p(b)=0,則p(1/b)=0.
數(shù)學(xué)人氣：262 ℃時(shí)間：2020-03-22 22:31:45
優(yōu)質(zhì)解答
設(shè)p(x)為n次多項(xiàng)式,考慮q(x) =x^n·p(1/x),可知q(x)也為F上的n次多項(xiàng)式.∵p(x)和q(x)有公共根a,∴p(x),q(x)有次數(shù)大于1的公因式.又∵p(x)不可約,∴p(x) | q(x).若p(b) = 0,則有q(b) = 0.∵p(x)不可約,∴b ≠ 0.于是...謝謝回答！但我有一個(gè)問題：p(x)和q(x)有公共根a無法推出p(x)和q(x)在F上有次數(shù)大于0的公因式，因?yàn)閍應(yīng)該不屬于F的這個(gè)是這樣的, 假設(shè)p(x), q(x)沒有次數(shù)大于1的公因式, 即二者互素.則存在u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x) = 1. 代入x = a即得 0 =1, 矛盾.所以有公共根的多項(xiàng)式不可能互素, 與根所在的域無關(guān). 這個(gè)結(jié)論最好記住.
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