不妨設(shè)a0 > 0.
我們證明x為充分大的正實(shí)數(shù)時(shí),多項(xiàng)式取正值,而x為絕對值充分大的負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)取負(fù)值.
于是存在取零的點(diǎn),即實(shí)根.
實(shí)際上,當(dāng)|x| > |a1/a0|+|a2/a0|+...+|an/a0|+1.
有|a0·x^n| > |a1·x^n|+|a2·x^n|+...+|an·x^n|
> |a1·x^(n-1)|+|a2·x^(n-2)|+...+|an|
≥ |a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an|.
由a0 > 0,若x > 0,則a0·x^n > 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an > 0.
由a0 > 0,n是奇數(shù),若x < 0,則a0·x^n < 0,有a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an < 0.
而a0·x^n+a1·x^(n-1)+a2·x^(n-2)+...+an關(guān)于x連續(xù),故存在零點(diǎn).
另一種方法,由代數(shù)基本定理,n次方程有n個(gè)復(fù)根.
而實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式方程虛根成對,但n是奇數(shù),故存在實(shí)根.