f(x)=e^x + sinx - ∫[0→x] (x-t)f(t) dt
=e^x + sinx - x∫[0→x] f(t) dt + ∫[0→x] tf(t) dt
求導(dǎo)得：
f '(x)=e^x+cosx-∫[0→x] f(t) dt-xf(x)+xf(x)
=e^x+cosx-∫[0→x] f(t) dt(1)
兩邊再求導(dǎo)得：
f ''(x)=e^x-sinx-f(x)
得微分方程：f ''(x)+f(x)=e^x-sinx
將x=0代入原方程得：f(0)=1
將x=0代入(1)得：f '(0)=2
下面求解初值問題：

f ''(x)+f(x)=e^x-sinx
f(0)=1
f '(0)=2

特征方程：λ²+1=0,解得λ=±i
齊次方程通解為：C1cosx+C2sinx
構(gòu)造非齊次方程特解為：y*=ae^x+bx*cosx+cx*sinx
代入微分方程比較系數(shù)得特解為：y*=(1/2)e^x+(1/2)xcosx
非齊次方程通解為：f(x)=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx
將兩個(gè)初始條件代入得：C1=1/2,C2=1

因此本題結(jié)果為：f(x)=(1/2)cosx+sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx

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