n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)的證明
題目是這樣的:
設(shè)a1,a2,...,an是n個(gè)n維向量,證明它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任意一個(gè)n維向量都可以被它們線性表示.
必要性很好證,我已經(jīng)證出來(lái)了
下面是我關(guān)于充分性的證明:
令b為任意一個(gè)n維向量,那么存在不全為0的數(shù)k1,k2,...,kn使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an=b (1)
假設(shè)a1,a2,...,an線性相關(guān),那么存在不全為0的數(shù)p1,p2,...,pn使得p1*a1+p2*a2+...+pn*an=0 (2)
用(1)-(2)得到
(k1-p1)*a1+(k2-p2)*a2+.+(kn-pn)*an=b (3)
因此只有當(dāng)p1,p2,.,pn全為0時(shí),等式(3)成立,這與假設(shè)相矛盾,即證得充分性
我不知道我這樣的證明合理不~有沒有更好的更簡(jiǎn)單的證明,我總覺得我這個(gè)證明看起來(lái)挺不舒服的