在等差數(shù)列{an}中，a10=30，a20=50．（1）求數(shù)列{an}的通項an；（2）令bn=2 an-10，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）令b_n=2 an-10，證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n．

數(shù)學人氣：227 ℃時間：2020-09-12 21:54:18

優(yōu)質解答

（1）設數(shù)列{a_n}首項為a₁，公差為d，
依題意知

a1+9d=30

a1+19d=50

，解得a₁=12，d=2，
∴a_n=12+（n-1）×2=2n+10．
（2）證明：∵a_n=2n+10，
∴b_n=2 an-10=2²ⁿ=4ⁿ，
∴

bn+1

4n+1

=4，
∴數(shù)列{b_n}是以首項b₁=4，公比為4的等比數(shù)列．
（3）∵nb_n=n?4ⁿ，
∴T_n=1?4+2?4²+…+n?4ⁿ，①
4T_n=1?4²+2?4³+…+n?4ⁿ⁺¹，②
①-②，得-3T_n=4+4²+…+4ⁿ-n?4ⁿ⁺¹=

4(1-4n)

1-4

-n?4ⁿ⁺¹=-

-n)?4n+1，
∴T_n=

)?4n+1．

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