證明:
[[1]]
不妨假設(shè)m＞0.
橢圓(x²/5)+(y²/3)=m²/2.
a²=(5m²)/2. b²=(3m²)/2. c²=a²-b²=m²
∴該橢圓右焦點(diǎn)F(m, 0).
同時(shí),橢圓方程可化為6x²+10y²=15m².
由題設(shè)可知,直線AB的方程可設(shè)為y=x-m.
把這個(gè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,整理可得
16x²-20mx-5m²=0
設(shè)A(x1, x1-m),B(x2, x2-m)
由韋達(dá)定理可得
x1+x2=(5m)/4
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,M(5m/8,-3m/8)
[[2]]
假設(shè)線段OP的中點(diǎn)為M.即OM=MP.
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及O(0,0),M(5m/8, -3m/8)可得
P(5m/4, -3m/4)
顯然,很容易地驗(yàn)證x=5m/4, y=-3m/4滿足方程
6x²+10y²=15m²
∴點(diǎn)P(5m/4, -3m/4)在這個(gè)橢圓上.
結(jié)合題設(shè)可知,兩點(diǎn)P, N 重合,
∴在四邊形OANB中,就有OM=MN,且AM=BM.
∴四邊形OANB是平行四邊形.
由向量加法的平行四邊形法則可知
OA+OB=ON.
證畢