雖然說(shuō)Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推廣,可是你觀察它們的最常見證明方法可以發(fā)現(xiàn),它們都可以通過(guò)Rolle定理獨(dú)立證明,不過(guò)是構(gòu)造的輔助函數(shù)不同而已.而事實(shí)上,用Lagrange中值定理顯然可以推出Rolle定理.可以歸結(jié)出這樣的推導(dǎo)關(guān)系：Rolle定理→Cauchy中值定理（Lagrange中值定理）→Lagrange中值定理→Rolle定理.因此它們?cè)谶壿嬌鲜堑葍r(jià)的,不過(guò)用于解決問題時(shí)的簡(jiǎn)繁程度不同.你要相信,所有用Cauchy中值定理可以解決的問題,用Rolle定理也可以解決,不過(guò)思路可能復(fù)雜一些.
如,設(shè)b＞a＞0,f(x)在[a,b]連續(xù)、(a,b)可導(dǎo),證明有c∈(a,b),使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c).
證：參考Cauchy中值定理的標(biāo)準(zhǔn)形式,令g(x)=x^2即可.注意這里b＞a＞0保證了g’(x)＝2x≠0以及b^2-a^2≠0.
上面這道題當(dāng)然非常簡(jiǎn)單（就是直接套公式）.它還可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)F(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2來(lái)證明.這時(shí)F(a)=f(a)b^2-f(b)a^2=h(b),那么由Rolle定理知存在c∈(a,b)使得h’(c)=0,這就是要證明的.這個(gè)解法不過(guò)是套用了Cauchy中值定理證明過(guò)程.
公式的作用就是節(jié)省人們的思考或計(jì)算的時(shí)間,但這需要對(duì)公式熟練運(yùn)用.最重要的是觀察.像上面這道簡(jiǎn)單的例題一類的存在性問題,很容易看出端倪的,關(guān)鍵就在于觀察哪個(gè)東西跟公式里的g(x)比較像（看g(x)和g’(x)）.常見的函數(shù),lnx,e^(x)甚至e^(h(x))等.另外,有可能一些不等式問題的中間過(guò)程要用到Cauchy中值定理（之后進(jìn)行一定程度的放縮）,你應(yīng)該可以想到.至于你提到的極值問題,
微分中值定理（Lagrange、Cauchy）對(duì)于一元微分學(xué)體系的發(fā)展和完善有重要的意義,其意義是理論上的.平時(shí)題目考察的只是對(duì)公式的變形使用.兩個(gè)詞,觀察和熟練度.我認(rèn)為你看一看【用Cauchy中值定理證明洛必達(dá)法則】的過(guò)程會(huì)對(duì)理解有幫助.我覺得這是Cauchy中值定理除了幾何解釋外另一個(gè)很美妙的地方.