一元二次方程ax^2+bx+c (a不為0)中
設(shè)兩個(gè)根為x和y
則x+y=-b/a
xy=c/a
韋達(dá)定理在更高次方程中也是可以使用的.一般的,對(duì)一個(gè)n次方程∑AiX^i=0
它的根記作X1,X2…,Xn
我們有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求積.
如果一元二次方程
在復(fù)數(shù)集中的根是,那么
法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系,因此,人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理.歷史是有趣的,韋達(dá)的16世紀(jì)就得出這個(gè)定理,證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理,而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論性.
由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在復(fù)數(shù)集中必有根.因此,該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個(gè)根.兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理.
韋達(dá)定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用.
定理的證明
設(shè)x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)解,且不妨令x_1 \ge x_2.根據(jù)求根公式,有
x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}},x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}
所以
x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac,
x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac