則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，
所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，
這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．
故直線EF與BD是異面直線．
（2）取CD的中點G，連接EG、FG，由于E、F分別是BC、AD的中點，
則EG平行且等于
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所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角．
由AC⊥BD，AC=BD，可得EG⊥GF，EG=GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG=45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°．
A是△BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點， （1）求證：直線EF與BD是異面直線； （2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF與BD所成的角．
A是△BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點，
（1）求證：直線EF與BD是異面直線；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF與BD所成的角．
（1）求證：直線EF與BD是異面直線；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF與BD所成的角．
數(shù)學人氣：282 ℃時間：2019-10-20 19:20:46
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：用反證法．設EF與BD不是異面直線，
則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，
所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，
這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．
故直線EF與BD是異面直線．
（2）取CD的中點G，連接EG、FG，由于E、F分別是BC、AD的中點，
則EG平行且等于
BD，F(xiàn)G平行且等于
AC，
所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角．
由AC⊥BD，AC=BD，可得EG⊥GF，EG=GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG=45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°．
則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，
所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，
這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．
故直線EF與BD是異面直線．
（2）取CD的中點G，連接EG、FG，由于E、F分別是BC、AD的中點，
則EG平行且等于
所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角．
由AC⊥BD，AC=BD，可得EG⊥GF，EG=GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG=45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°．
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