證明：lim(x→+∞)f(x)的極限是唯一的 用反證法證如下
假設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于正無窮時函數(shù)極限不唯一
不妨假設(shè)lim(x→+∞)f(x)=A 且 lim(x→+∞)f(x)=B 并且A≠B.
由lim(x→+∞)f(x)=A
對于任意ε＞0,存在N1＞0,滿足當(dāng)x＞N1時
|f(x)-A|＜ε/2.
由lim(x→+∞)f(x)=B
對任意ε＞0,存在N2＞0,滿足當(dāng)x＞N2時
|f(x)-B|＜ε/2.
∴肯定能找到N=max{N1,N2}當(dāng)x＞N時
|f(x)-A|+|f(x)-B|＜ε/2+ε/2=ε
又∵|f(x)-A|+|f(x)-B|=|A-f(x)|+|f(x)-B|≥|A-f(x)+f(x)-B|=|A-B|
∴|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|＜ε
根據(jù)極限定義可知A=B.
與題目中A≠B矛盾.
因此原結(jié)論成立
即若當(dāng)x趨近于+無窮,函數(shù)f(x)存在極限,則極限唯一.