（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-x+a+1，且f（x）≥0對一切實數(shù)x恒成立，
∴△=（-1）²-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-

3

4

因此，實數(shù)a的取值范圍是[-

3

4

，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x²-x+a+1=（x-

1

2

）²+a+

3

4

①當a≤

1

2

時，函數(shù)在（-∞，a]上為減函數(shù)，所以最小值為f（a）=a²+1=g（a）；
②當a＞

1

2

時，函數(shù)在（-∞，

1

2

]上為減函數(shù)，在（

1

2

，a]上是增函數(shù)
此時，f（x）的最小值為f（

1

2

）=a+

3

4

因此f（x）在區(qū)間（-∞，a]上的最小值g（a）的表達式為：
g（a）=.

a2+1       (a≤ 1 2 ) a+ 3 4          (a＞ 1 2 )

．