由已知An=2A(n-1)+2^n-1(n屬于正整數(shù),n大于等于2)
得A4=2A3+15 ,可得A3=33
進(jìn)而得A3=2A2+7,可得A2=13,
A2=2A+3 可得A1=5
當(dāng)n>=2 時有
An=2A(n-1)+2^n-1
A(n-1)=2A(n-2)+2^(n-1)-1
A(n-2)=2A(n-3)+2^(n-2)-1
………………………
A2=2A1+2^2-1
將上面的n-1個等式變形為
An=2A(n-1)+2^n-1……………………（1）
2A(n-1)=2^2A(n-2)+2^n-2……………（2）
2^2A(n-2)=2^3A(n-3)+2^n-2^2……………（3）
……………………………………
2^(n-2)A2=2^(n-1)A1+2^n-2^(n-2)………（n-1)
對上面n-1個等式左右分別累加得
An=5*2^(n-1)+(n-1)2^n-[1+2+2^2+ …+2^(n-2)]
=(n+1)2^n+1
很顯然,當(dāng)n=1時A1=5也滿足上式
故數(shù)列{An}得通項公式為An=(n+1)2^n+1
不難看出,取a= - 1
則(An+a)/2^n=n+1
數(shù)列{n+1}顯然是等差數(shù)列
故存在a= -1使{(An+a)/2^n}為等差數(shù)列
∴Sn=[2+(n+1)]n/2
注：如要求嚴(yán)密,可再插入兩部分內(nèi)容,這里不再贅述：
（1）求出An=(n+1)2^n+1后,運用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（2）得到(An+a)/2^n=n+1后用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{n+1}為等差數(shù)列.