反證法：
因?yàn)閒(x)是首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式,所以如果f(x)有有理根,那么它一定有整根.不妨設(shè)這個(gè)整根為k.
設(shè) f(x)= an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...+ a1*x + a0.
(1)若k能被3整除,則 k=3a,a是整數(shù).因此由 f(k)=0 可知 a0 必定能被3整除,但是由 f(0)=a0 不能被3整除,矛盾.
(2)若k被3除余數(shù)是1,則 k^i 被3除余數(shù)也是1(設(shè) k=3a+1,二項(xiàng)式定理簡(jiǎn)單驗(yàn)證一下即可),此時(shí) f(k) 被3除的余數(shù)為 an+a(n-1)+...+a0,由 f(k)=0 可知必有 an+a(n-1)+...+a0 能被3整除.但由 f(1)=an+a(n-1)+...+a0 不能被3整除,矛盾.
(3)若k被3除余數(shù)是-1,因此 f(k) 被3除余數(shù)為 an*(-1)^n+...+a0,這正是 f(-1)被3除的余數(shù).但是f(-1)不能被3整除,而 f(k)=0,矛盾.
綜上,f(x)沒有有理根.