【求通項(xiàng)】
f(x) = log2^x - 2 /log2^x （且0＜x＜1）
∴ f(2^an) = log2^(2^an) - 2 /log2^(2^an) = an - 2/an = 2n
且0＜2^an＜1,即 an＜0
化簡(jiǎn)得,(an)² - 2n*(an) - 2 = 0
△ = (2n)² - 4*1*(- 2) = 4(n² + 2)
∴ an = [ 2n ± √△ ] / 2
= n ± √(n² + 2)
而an＜0,故舍去an = n + √(n² + 2)
∴通項(xiàng)公式為 an = n - √(n² + 2)
【判別{an}單調(diào)性】
a - a = n+1 - √[(n+1)² + 2] - n + √(n² + 2)
= 1 + √(n² + 2) - √(n² + 2n + 3)
∵ n²+2＞n² ≥ 0,即√(n²+2) ＞ √n² = |n|
而 n∈N,
∴ √(n²+2) ＞ n
∴ 2√(n²+2) ＞ 2n
兩邊同時(shí)加上 n²+3 得
n²+3 + 2√(n²+2) ＞ n²+3 + 2n ＞ 0
即,n²+ 2 + 2√(n²+2) +1 ＞ n² + 2n + 3 ＞ 0
兩邊同時(shí)開平方,得
1+ √(n²+2) ＞ √(n² + 2n + 3)
所以有,
1 + √(n² + 2) - √(n² + 2n + 3) ＞ 0
即,a ＞ a （其中,n為任意正整數(shù)）
∴,數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列