已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=2,a(n+1)=an+2a(n-1)（n>=2）.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

數(shù)學(xué)人氣：827 ℃時(shí)間：2019-10-19 19:36:32

優(yōu)質(zhì)解答

∵數(shù)列{a[n]}滿足a[n+1]=a[n]+2a[n-1]（n>=2）
∴a[n+1]-2a[n]=-(a[n]-2a[n-1])
∵a[1]=a[2]=2
∴{a[n+1]-2a[n]}是首項(xiàng)為a[2]-2a[1]=-2,公比為-1的等比數(shù)列
即：a[n+1]-2a[n]=(-2)(-1)^(n-1)=2(-1)^n
∴a[n+1]+(2/3)(-1)^(n+1)=2(a[n]+(2/3)(-1)^n)
∴{a[n]+(2/3)(-1)^n}是首項(xiàng)為a[1]+(2/3)(-1)^1=4/3,公比為2的等比數(shù)列
即：a[n]+(2/3)(-1)^n=(4/3)2^(n-1)=2^(n+1)/3
∴a[n]=2^(n+1)/3-(2/3)(-1)^n