已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意a、b屬于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),切當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0恒成立,f(3)=-3
1.證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)
設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,f(x2-x1)＜0
∴f(x2)-f(x1）=f[x1+(x2-x1)]-f(x1）
=f(x1)+f(x2-x1)-f(x1）
=f(x2-x1)＜0
∴函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)
2.證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)
在f(a+b)=f(a)+f(b)中,令b=0,則
f(a)=f(a)+f(0)
∴f(0)=0
在f(a+b)=f(a)+f(b)中,令b=﹣a,則
f(0)=f(a)+f(﹣a)
∴f(﹣a)+f(a)=0
∴f(﹣a)=﹣f(a)
∴函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)
3.求函數(shù)y=f(x)在[m,n](m,n屬于Z)上的值域
f(2a)=f(a)+f(a)=2f(a)
f(3a)=f(2a)+f(a)=2f(a)+f(a)=3f(a)
……
f(ma)=mf(a)(當(dāng)m＞0時(shí)）
當(dāng)m＜0時(shí),f(ma)=﹣f(﹣ma)=﹣﹙﹣m）f(a)=mf(a)
即f(ma)=mf(a)(m∈Z)
∴f(3)=3f(1)=-3
∴f(1)=-1
∴f(m)=mf(1)=-m
f(n)=nf(1)=-n
∵函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)
∴函數(shù)y=f(x)在[m,n](m,n屬于Z)上的值域
是[f(n),f(m)]=[﹣n,﹣m]