已知球的半徑為R,球內(nèi)接圓柱底面半徑為r,高為h,則r和h為何值時(shí),內(nèi)接圓柱的體積最大?

數(shù)學(xué)人氣：990 ℃時(shí)間：2019-10-14 06:51:42

優(yōu)質(zhì)解答

由題意知球心在內(nèi)接圓柱軸上高的中點(diǎn),則有：
R²=r²+(h/2)²即h²＝4R²-4r²
以下用基本不等式來(lái)求體積最大值
因?yàn)閮?nèi)接圓柱的體積V=πr²h,即V²=π²r²r²h²
所以V²=π²r²r²(4R²-4r²)
＝π²/4 *(2r²)(2r²)(4R²-4r²)
又(2r²)(2r²)(4R²-4r²)≤{[(2r²)+(2r²)+(4R²-4r²)]/3}³=64(R²)³/27 (當(dāng)且僅當(dāng)2r²＝4R²-4r²即3r²＝2R²時(shí)取等號(hào)）
所以當(dāng)r=√6*R/3,h=2√3*R/3時(shí),V²有最大值π²/4 ×64(R²)³/27＝16π²(R²)³/27
即內(nèi)接圓柱的體積有最大值：4√3×πR³/9