（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
∵log₄（4^-x+1）=log₄（

4x+1

4x

）=log₄（4^x+1）-log₄4^x=log₄（4^x+1）-x，
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx，
即2k+1=0
∴k=-

1

2

證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正
故當(dāng)b＞0時，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b有唯一的零點，此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線有一個交點，
當(dāng)b≤0時，y=log₄（4^x+1）+

3

2

x-b沒有零點，此時函數(shù)y=f（x）的圖象與直線沒有交點
對任意的實數(shù)b，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個公共點．