你可以試著用二重積分極坐標(biāo)法算∫e^(-x^2)dx 可以通過計(jì)算二重積分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.
那個(gè)D表示是由中心在原點(diǎn),半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.
下面計(jì)算這個(gè)二重積分:
在極坐標(biāo)系中,閉區(qū)域D可表示為:0≤r≤a,0≤θ≤2π
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ
=∫[∫e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-a^2)∫dθ
=π(1-e^(-a^2))
下面計(jì)算∫e^(-x^2)dx ;
設(shè)D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
可以畫出D1,D2,S的圖.
顯然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,從而在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式:
∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy