若函數y=f(x)對任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)指出y=f（x）的奇偶性,并證明

若函數y=f(x)對任意xy∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)指出y=f（x）的奇偶性,并證明
（2）若x>0時,f（x）<0,證明f（x）的單調性
（3）在（2）的條件下,若對任意實數x,恒有f（kx)+f（-x平方+x-2)>0成立,求k的取值范圍

數學人氣：824 ℃時間：2019-08-19 01:28:07

優(yōu)質解答

（1）令x=y=0,則有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0；
令y=-x,則有f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x),因此f(x)為奇函數.
（2）對于任意的x1,x2∈R,不妨設x10,f(x2-x1)<0,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)（3）f（kx)+f（-x平方+x-2)>0即f(kx)+f(-x^2+x-2)>0,f(kx-x^2+x-2)>0,故有kx-x^2+x-2<0,x^2-(k+1)x+2>0.由于恒有f（kx)+f（-x平方+x-2)>0成立,故x^2-(k+1)x+2>0恒成立,意味著判別式小于0,則有(k+1)^2-4*2<0,即k的取值范圍為（-1-2*根號2,-1+2*根號2）x^2-(k+1)x+2>0的判別式小于0，即(k+1)^2-4*2<0,

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