已知橢圓E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根號(hào)3)的離心率e=1/2.直線x=t(t>0)與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C.(1)求橢圓E的方程!（2）若圓C與y軸相交不同的兩點(diǎn)A.B.求三角形ABC的面積最大值!
(1)解析：∵橢圓E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根號(hào)3)的離心率e=1/2
e=c/a=1/2==>a=2c==>a^2=4(a^2-b^2)==>a^2=4
∴橢圓E:x2/4+y2/3=1
(2)解析：∵直線x=t(t>0)與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C.
∴C(t,0),M,N關(guān)于X軸上下對稱
∴圓C半徑r=√[3(1-t^2/4)]
∴圓C方程為(x-t)^2+y^2=3(1-t^2/4)
∵圓C與y軸相交不同的兩點(diǎn)A,B
∴A,B關(guān)于X軸上下對稱
A,B的Y坐標(biāo)：(0-t)^2+y^2=3(1-t^2/4)==>y=√[3(1-t^2/4)-t^2]
∴S(⊿ABC)=t√[3(1-t^2/4)-t^2]=t/2√(12-7t^2)
設(shè)f(x)=x/2√(12-7x^2)
令f’(x)=1/2√(12-7x^2)+x/2*1/√(12-7x^2)(-14x)=(12-21x^2)/[2√(12-7x^2)]=0
X=2√7/7
∴S(max)=√77/7