令F（x）=f（x）-g（x），則F（x）在上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）內(nèi)同一點(diǎn)c取得最大值，
則f（c）=g（c）?F（c）=0，
于是由羅爾定理可得，
存在ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），
使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
再利用羅爾定理，可得，
存在ξ∈（ξ₁，ξ₂），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）內(nèi)不同點(diǎn)c₁，c₂取得最大值，
則f（c₁）=g（c₂）=M，
于是F（c₁）=f（c₁）-g（c₁）＞0，F(xiàn)（c₂）=f（c₂）-g（c₂）＜0，
于是由零值定理可得，存在c₃∈（c₁，c₂），使得F（c₃）=0
于是由羅爾定理可得，存在ξ₁∈（a，c₃），ξ₂∈（c₃，b），使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
再利用羅爾定理，可得，存在ξ∈（ξ₁，ξ₂），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．