設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線率為2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：f（x）≤2x-2．

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明：f（x）≤2x-2．

數(shù)學(xué)人氣：892 ℃時(shí)間：2019-08-20 04:57:52

優(yōu)質(zhì)解答

（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+

，
由已知條件得：

f(1)＝0

f/(1)＝2

，即

1+a＝0

1+2a+b＝2

解之得：a=-1，b=3
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x-x²+3lnx，
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，則
g/(x)＝?1?2x+

(x?1)(2x+3)

當(dāng)時(shí)0＜x＜1，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0
所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（x）在x=1處取得最大值g（1）=0
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）≤0
∴f（x）≤2x-2在（0，+∞）上恒成立

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