1.
按橢圓定義：c^2 = 2 = a^2 - b^2
[x^2/a^2] + [y^2/(a^2 - 2)] = 1 經(jīng)過 (√2 ,1)
解得：a^2 = 1 或 4 ,∵a^2 > c^2 = 2 ,∴a^2 = 4 ,b^2 = 2
∴橢圓方程：[x^2/4] + [y^2/2] = 1
按雙曲線定義：c^2 = a^2 + b^2 = 2
[x^2/a^2] - [y^2/(2 - a^2)] = 1 經(jīng)過 (√2 ,1)
解得：a^2 = 1 或 4 ,∵a^2 < c^2 = 2 ,∴a^2 = 1 ,b^2 = 1
∴雙曲線方程：x^2 - y^2 = 1
2.
可設(shè)經(jīng)過M(0 ,2)的直線為：y = kx + 2 ,聯(lián)立雙曲線方程 ：
(kx + 2)^2 = x^2 - 1 ,∴(k^2 - 1)x^2 + 4kx + 5 = 0 ,
∵雙曲線的漸近線為：y = x 和 y = -x ,因此若k^2 - 1 = 0 (即k = 1或-1時(shí)) ,所求直線與漸近線平行 ,與雙曲線不相切且產(chǎn)生交點(diǎn) ,∴k^2≠1 ,
因此對上述一元二次方程取△ = 0 可得：16k^2 = 20(k^2 - 1) ,k^2 = 5 ,
∴k = √5 或 -√5
∴滿足條件的切線方程有兩條：
L1 : y = √5x + 2
L2 : y = -√5x + 2