使用極坐標(biāo)來做比較簡單,
令x=r*sina,y=r*cosa,
則x^2+y^2=r^2,
而積分區(qū)域D是由x^2+y^2=1,x=0,y=0所圍成區(qū)域在第一象限內(nèi)部分,
所以r的范圍是0到1,而角度a的范圍是0到π/2
故原積分
= ∫∫ 1/(1+x^2+y^2) dxdy
= ∫∫ r /(1+r^2) dr da
= ∫(上限1,下限0) r /(1+r^2) dr * ∫(上限π/2,下限0) da
顯然
∫(上限1,下限0) r /(1+r^2) dr
= 0.5 *∫(上限1,下限0) 1 /(1+r^2) d(r^2)
= 0.5ln|(1+r^2)| 代入上限1,下限0
=0.5ln2
而
∫(上限π/2,下限0) da= π/2
所以
原積分= 0.5ln2 * π/2 = (π/4) * ln2